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梅森素数为何“火爆”全球

林远 《 人民周刊 》(

    目前世界上有190多个国家和地区近70万人,参加了一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目,并动用了超过136万个中央处理器(CPU)参与这一项目的计算。因此,仅从人力、物力方面来说,梅森素数的探究已足够“火爆”。这在数学史上是前所未有的,在科学史上也是极为罕见的。

    梅森素数的由来

    2300多年前,古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中就已经证明素数有无穷多个,如2、3、5、7、11等等;同时他提出一些素数可写成“2^P-1”(其中指数P也是素数)的形式。而这种特殊形式的素数,具有独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、图灵等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

    17世纪的法国数学家、法兰西科学院的奠基人马林·梅森(Marin Mersenne)对“2^P-1”型的素数做过较为系统且深入的探究。为了纪念他,数学界就将这种素数称为“梅森素数”(Mersenne Prime)。

    迄今为止,人类仅发现49个梅森素数。这种素数稀奇而迷人,故被人们称为“数海明珠”。尤其近百年来,人们发现的“超大素数”几乎都是梅森素数。

    难度极大的探究

    梅森素数貌似简单,但当指数P值较大时,其素性检验的难度就会很大;它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。

    1772年,享有“数学英雄”美誉的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下,利用优化的试除法,靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是个素数。该素数是第8个梅森素数,堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已,难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说:“读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”

    为了寻找下一个梅森素数,俄国数学家伊凡·波佛辛(Ivan Pervushin)花了近20年的时间和精力,最后利用“卢卡斯定理”,于1883年证明了2^61-1(即2305843009213693951)是第9个梅森素数。在“手算笔录”的年代,人们历尽艰辛去探究梅森素数,但只找到12个。

    计算机助力寻找

    电子计算机的出现,大大加快了寻找梅森素数的步伐。1952年,美国加州大学洛杉矶分校的数学家拉斐尔·鲁宾逊(Raphael Robinson)将著名的“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序,使用大型计算机在不到一年内就找到了5个梅森素数:2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。

    1963年9月6日晚上8点,当第23个梅森素数2^11213-1通过大型计算机被找到时,美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放,在第一时间发布了这一重要消息。而发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲,为让全世界都分享这一成果,以至把所有从系里发出的信封都盖上了“2^11213-1是个素数”的邮戳。

    随着指数P值的增大,每一个梅森素数的产生都艰辛无比,而科学家及业余研究者们仍乐此不疲,竞争激烈。例如,在1979年2月23日,当美国克雷研究公司的计算机专家戴维·史洛温斯基(David Slowinski)和哈利·纳尔逊(Harry Nelson)宣布他们找到第26个梅森素数2^23209-1时,有人告诉他们:在两星期前,美国加州的高中生兰登·诺尔(Landon Noll)就已经给出了同样结果。为此他们发愤忘食,又花了一个半月的时间,使用超级计算机找到了新的更大的梅森素数2^44497-1。

    灵机一动见曙光

    人们在寻找梅森素数的同时,对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。由于梅森素数的分布时疏时密、极不规则,因此探究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。虽然英、法、德、美等国的数学家曾给出过关于梅森素数分布的猜测,但他们的猜测都有一个共同点,就是以近似表达式给出,其结果与实际情况的接近程度难如人意。

    中国数学家、语言学家周海中1976年在广东雷州半岛当“下乡知青”时就开始探究梅森素数的分布规律。因当时这方面的资料十分匮乏,加之没有计算机,所以其探究在初期就困难重重,有过无数次的失败,但他并不气馁。有一天,他在阅读一本关于法国数学大师费马的书时,突然想到了“费马数”的形式,这为他日后解决难题找到了突破口。

    经过多年的不懈努力,周海中终于在1992年发现梅森素数的分布规律,并给出了它的精确表达式。后来这项重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格(Atle Selberg)认为:周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。

    网格技术显身手

    1996年初,美国数学家、计算机专家乔治·沃特曼(George Woltman)编写了一个寻找梅森素数的计算程序,并把它放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用。它就是举世闻名的GIMPS项目,也是全世界第一个基于互联网的网格计算项目。人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件,就可以马上寻找梅森素数了。

    为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展,总部设在美国的“电子前沿基金会”(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的“协同计算奖”。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发15万美元。其实,绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

    2008年8月23日,美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森·史密斯(Edson Smith)首先发现超过1000万位的梅森素数——2^43112609-1,该素数有12978189位;他也因此获得了EFF颁出的大奖。这一重大成就,被著名的《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一。

    今年1月7日,美国密苏里中央大学的数学家柯蒂斯·库珀(Curtis Cooper)通过参与GIMPS项目,找到了目前人类已知的最大素数2^74207281-1。该素数是第49个梅森素数,有22338618位数,如果用普通字号将它连续打印下来,其长度可达100公里!

    20年来人们通过GIMPS项目找到了15个梅森素数,其发现者来自美国(9个)、德国(2个)、英国(1个)、法国(1个)、挪威(1个)和加拿大(1个)。

    梅森素数的意义

    梅森素数在当代具有重大的意义。它是发现已知最大素数的最有效途径,其探究推动了“数学皇后”——数论的研究,促进了计算技术、密码技术和程序设计技术的发展。

    此外,梅森素数还有实用价值,它可以用来发现计算机系统或程序中存在的问题。早在上世纪90年代,克雷公司、苹果公司、英特尔公司等就利用梅森素数来测试计算机的功能。最近德国一名GIMPS项目参与者发现:当第六代Core处理器Intel Skylake在执行Prime95应用来搜索梅森素数时,运算到指数P=14942209就出现了触发系统死机的漏洞(bug)。

    难怪许多科学家认为,梅森素数的研究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席马科斯·索托伊(Marcus Sautoy)甚至认为,它的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志,而且是整个科技发展的里程碑之一。也许这也是梅森素数的探究极为“火爆”的原因之一吧。

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